github.com/linapex/ethereum-dpos-chinese@v0.0.0-20190316121959-b78b3a4a1ece/crypto/bn256/cloudflare/optate.go

//<developer>
//    <name>linapex 曹一峰</name>
//    <email>linapex@163.com</email>
//    <wx>superexc</wx>
//    <qqgroup>128148617</qqgroup>
//    <url>https://jsq.ink</url>
//    <role>pku engineer</role>
//    <date>2019-03-16 12:09:36</date>
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package bn256

func lineFunctionAdd(r, p *twistPoint, q *curvePoint, r2 *gfP2) (a, b, c *gfP2, rOut *twistPoint) {
//从“更快的计算
//泰特配对”，http://arxiv.org/pdf/0904.0854v3.pdf
	B := (&gfP2{}).Mul(&p.x, &r.t)

	D := (&gfP2{}).Add(&p.y, &r.z)
	D.Square(D).Sub(D, r2).Sub(D, &r.t).Mul(D, &r.t)

	H := (&gfP2{}).Sub(B, &r.x)
	I := (&gfP2{}).Square(H)

	E := (&gfP2{}).Add(I, I)
	E.Add(E, E)

	J := (&gfP2{}).Mul(H, E)

	L1 := (&gfP2{}).Sub(D, &r.y)
	L1.Sub(L1, &r.y)

	V := (&gfP2{}).Mul(&r.x, E)

	rOut = &twistPoint{}
	rOut.x.Square(L1).Sub(&rOut.x, J).Sub(&rOut.x, V).Sub(&rOut.x, V)

	rOut.z.Add(&r.z, H).Square(&rOut.z).Sub(&rOut.z, &r.t).Sub(&rOut.z, I)

	t := (&gfP2{}).Sub(V, &rOut.x)
	t.Mul(t, L1)
	t2 := (&gfP2{}).Mul(&r.y, J)
	t2.Add(t2, t2)
	rOut.y.Sub(t, t2)

	rOut.t.Square(&rOut.z)

	t.Add(&p.y, &rOut.z).Square(t).Sub(t, r2).Sub(t, &rOut.t)

	t2.Mul(L1, &p.x)
	t2.Add(t2, t2)
	a = (&gfP2{}).Sub(t2, t)

	c = (&gfP2{}).MulScalar(&rOut.z, &q.y)
	c.Add(c, c)

	b = (&gfP2{}).Neg(L1)
	b.MulScalar(b, &q.x).Add(b, b)

	return
}

func lineFunctionDouble(r *twistPoint, q *curvePoint) (a, b, c *gfP2, rOut *twistPoint) {
//从“更快的
//泰特配对”，http://arxiv.org/pdf/0904.0854v3.pdf
	A := (&gfP2{}).Square(&r.x)
	B := (&gfP2{}).Square(&r.y)
	C := (&gfP2{}).Square(B)

	D := (&gfP2{}).Add(&r.x, B)
	D.Square(D).Sub(D, A).Sub(D, C).Add(D, D)

	E := (&gfP2{}).Add(A, A)
	E.Add(E, A)

	G := (&gfP2{}).Square(E)

	rOut = &twistPoint{}
	rOut.x.Sub(G, D).Sub(&rOut.x, D)

	rOut.z.Add(&r.y, &r.z).Square(&rOut.z).Sub(&rOut.z, B).Sub(&rOut.z, &r.t)

	rOut.y.Sub(D, &rOut.x).Mul(&rOut.y, E)
	t := (&gfP2{}).Add(C, C)
	t.Add(t, t).Add(t, t)
	rOut.y.Sub(&rOut.y, t)

	rOut.t.Square(&rOut.z)

	t.Mul(E, &r.t).Add(t, t)
	b = (&gfP2{}).Neg(t)
	b.MulScalar(b, &q.x)

	a = (&gfP2{}).Add(&r.x, E)
	a.Square(a).Sub(a, A).Sub(a, G)
	t.Add(B, B).Add(t, t)
	a.Sub(a, t)

	c = (&gfP2{}).Mul(&rOut.z, &r.t)
	c.Add(c, c).MulScalar(c, &q.y)

	return
}

func mulLine(ret *gfP12, a, b, c *gfP2) {
	a2 := &gfP6{}
	a2.y.Set(a)
	a2.z.Set(b)
	a2.Mul(a2, &ret.x)
	t3 := (&gfP6{}).MulScalar(&ret.y, c)

	t := (&gfP2{}).Add(b, c)
	t2 := &gfP6{}
	t2.y.Set(a)
	t2.z.Set(t)
	ret.x.Add(&ret.x, &ret.y)

	ret.y.Set(t3)

	ret.x.Mul(&ret.x, t2).Sub(&ret.x, a2).Sub(&ret.x, &ret.y)
	a2.MulTau(a2)
	ret.y.Add(&ret.y, a2)
}

//Sixuplus2NAF为6U+2，非相邻形式。
var sixuPlus2NAF = []int8{0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, -1, 0, 0, 1, -1, 0, 0, 1, 0,
	0, 1, 1, 0, -1, 0, 0, 1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 1, 1,
	1, 0, 0, -1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 1,
	1, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, -1, 0, 0, 1, 0, 1, 1}

//Miller实现了用于计算最佳ATE对的Miller循环。
//见算法1 http://crypto绝地.org/papers/dclxvi-20100714.pdf
func miller(q *twistPoint, p *curvePoint) *gfP12 {
	ret := (&gfP12{}).SetOne()

	aAffine := &twistPoint{}
	aAffine.Set(q)
	aAffine.MakeAffine()

	bAffine := &curvePoint{}
	bAffine.Set(p)
	bAffine.MakeAffine()

	minusA := &twistPoint{}
	minusA.Neg(aAffine)

	r := &twistPoint{}
	r.Set(aAffine)

	r2 := (&gfP2{}).Square(&aAffine.y)

	for i := len(sixuPlus2NAF) - 1; i > 0; i-- {
		a, b, c, newR := lineFunctionDouble(r, bAffine)
		if i != len(sixuPlus2NAF)-1 {
			ret.Square(ret)
		}

		mulLine(ret, a, b, c)
		r = newR

		switch sixuPlus2NAF[i-1] {
		case 1:
			a, b, c, newR = lineFunctionAdd(r, aAffine, bAffine, r2)
		case -1:
			a, b, c, newR = lineFunctionAdd(r, minusA, bAffine, r2)
		default:
			continue
		}

		mulLine(ret, a, b, c)
		r = newR
	}

//为了计算q1，我们必须把q从性别扭曲中转换出来。
//对于完整的gf（p^12）组，应用frobenius，然后转换
//回来。
//
//扭曲同构为（x’，y’）->（xω2，yω3）。如果我们考虑
//在应用了frobenius之后，我们得到了xω^（2p）
//其中x是x的共轭。如果我们要应用逆
//同构我们需要一个单系数ω2的值，所以我们
//将其改写为xω^（2p-2）ω2。ξ_=ω，由于
//p，2p-2是6的倍数。因此我们可以重写为
//xξ^（（p-1）/3）ω2应用逆同构消除了
//ω
//
//可以为Y值创建类似的参数。

	q1 := &twistPoint{}
	q1.x.Conjugate(&aAffine.x).Mul(&q1.x, xiToPMinus1Over3)
	q1.y.Conjugate(&aAffine.y).Mul(&q1.y, xiToPMinus1Over2)
	q1.z.SetOne()
	q1.t.SetOne()

//对于第二季度，我们将申请P？Frobenius。这两个共轭抵消了
//我们只剩下同构的因子。在
//在x的情况下，我们得到一个纯数字，这就是为什么
//xitopsquaredminus1 over3是∈gf（p）。用y我们得到-1的因子。我们
//忽略这一点以-q2结束。

	minusQ2 := &twistPoint{}
	minusQ2.x.MulScalar(&aAffine.x, xiToPSquaredMinus1Over3)
	minusQ2.y.Set(&aAffine.y)
	minusQ2.z.SetOne()
	minusQ2.t.SetOne()

	r2.Square(&q1.y)
	a, b, c, newR := lineFunctionAdd(r, q1, bAffine, r2)
	mulLine(ret, a, b, c)
	r = newR

	r2.Square(&minusQ2.y)
	a, b, c, newR = lineFunctionAdd(r, minusQ2, bAffine, r2)
	mulLine(ret, a, b, c)
	r = newR

	return ret
}

//finalexponentation计算元素的
//gf（p_2）获取gt元素（算法1的步骤13-15）
//http://cryptojedi.org/papers/dclxvi-20100714.pdf）
func finalExponentiation(in *gfP12) *gfP12 {
	t1 := &gfP12{}

//这是P^6-Frobenius
	t1.x.Neg(&in.x)
	t1.y.Set(&in.y)

	inv := &gfP12{}
	inv.Invert(in)
	t1.Mul(t1, inv)

	t2 := (&gfP12{}).FrobeniusP2(t1)
	t1.Mul(t1, t2)

	fp := (&gfP12{}).Frobenius(t1)
	fp2 := (&gfP12{}).FrobeniusP2(t1)
	fp3 := (&gfP12{}).Frobenius(fp2)

	fu := (&gfP12{}).Exp(t1, u)
	fu2 := (&gfP12{}).Exp(fu, u)
	fu3 := (&gfP12{}).Exp(fu2, u)

	y3 := (&gfP12{}).Frobenius(fu)
	fu2p := (&gfP12{}).Frobenius(fu2)
	fu3p := (&gfP12{}).Frobenius(fu3)
	y2 := (&gfP12{}).FrobeniusP2(fu2)

	y0 := &gfP12{}
	y0.Mul(fp, fp2).Mul(y0, fp3)

	y1 := (&gfP12{}).Conjugate(t1)
	y5 := (&gfP12{}).Conjugate(fu2)
	y3.Conjugate(y3)
	y4 := (&gfP12{}).Mul(fu, fu2p)
	y4.Conjugate(y4)

	y6 := (&gfP12{}).Mul(fu3, fu3p)
	y6.Conjugate(y6)

	t0 := (&gfP12{}).Square(y6)
	t0.Mul(t0, y4).Mul(t0, y5)
	t1.Mul(y3, y5).Mul(t1, t0)
	t0.Mul(t0, y2)
	t1.Square(t1).Mul(t1, t0).Square(t1)
	t0.Mul(t1, y1)
	t1.Mul(t1, y0)
	t0.Square(t0).Mul(t0, t1)

	return t0
}

func optimalAte(a *twistPoint, b *curvePoint) *gfP12 {
	e := miller(a, b)
	ret := finalExponentiation(e)

	if a.IsInfinity() || b.IsInfinity() {
		ret.SetOne()
	}
	return ret
}